Tạp chí công nghệ Việt Nam

Phần 1: Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao – Giải trí khoa học (tiếp 4)

0

Vâng, thưa các bạn nếu bài toán như vậy thì xác suất chính xác bằng ¼.

Bài toán này đã gây khá nhiều tranh luận trong bạn bè chúng tôi. Khi chúngtôi giải thích tất cả những khúc mắc của nó, mọi người đều đồng ý như tôi đã viết trên. Thế nhưng, chúng tôi nhận được một lời giải thích khá hay của một anh bạn trẻ-và chúng tôi nghĩ đó là lời giải thích chu đáo, cặn kẽ:

“Anh Vỹ thân mến!

Khi dùng động từ bẻ thì chắc chúng ta tuyệt đối không thể dùng phương pháp một để giải, vì nó không toát lên ý nghĩa của từ bẻ. Cách một phù hợp hoàn toàn với bài toán máy chặt như anh đã giải thích. Thế nhưng, ngay cả cách hai tuy đúng nhưng không logic trên thực tế. Khi ta nói bẻ có nghĩa là chia cái gì đấy bằng tay ra hai phần. Nếu chia que gỗ ra chỉ hai phần thôi thì mọi việc đơn giản quá. Nhưng ở đây là chia ra ba phần, như vậy ta phải bẻ hai lần. Mà đã bẻ làm hai hay lớn hơn lần thì phải có trạng từ bổ ngữ thêm nữa: đó là bẻ các lần cách quãng hay bẻ liên tiếp. Cách giải hai phù hợp với bẻ hai lần cách quãng. Đúng hơn là: yêu cầu một người bẻ que gỗ. Sau đấy, ta cầm cả hai phần và chìa hai đầu (đã chỉnh cho bằng đầu để người kia không biết đâu là que dài) cho anh ta chọn. Chọn xong, anh ta bẻ đoạn đã chọn ra thành hai phần. Tìm xác suất sao cho ba đoạn nhận được có thể tạo thành tam giác. Như vậy, cách này có toát lên ý nghĩa của từ “bẻ” không?

 

>>>>Xem thêm: Dịch vụ quay phim sinh nhật cho bé

 

Hay, người bẻ (trung thực trong cách bẻ ngẫu nhiên) chọn lựa cách bẻ hợp lý trên thực tế hơn. Anh ta bẻ ngẫu nhiên lần một trên que gỗ. Sau đó, tuỳ sở thích của từng người, anh ta thả rơi đoạn bên trái xuống (tay trái thả ra) trong khi tay phải vẫn nắm giữ đầu bên phải của que gỗ. Và tiếp tục bẻ tiếp phần còn lại trong tay phải ra hai phần một cách ngẫu nhiên. Tìm xác suất sao cho ba đoạn tạo thành tam giác.

Rõ ràng, cách bẻ này liên tiếp không dứt quãng và tiết kiệm thời gian cho người bẻ. Đồng thời, cách bẻ này toát lên ý nghĩa từ “bẻ” chân thật nhất. Xác suất tính được cũng bằng 0,193. Nhưng cách giải thích xác suất chọn thanh dài để bẻ bằng ½ hoàn toàn khác. Vì anh ta bẻ liên tiếp như thế, nên chỉ khi điểm bẻ của lần đầu anh ta chọn nằm trên nửa trái của que, thì phần bẻ tiếp theo mới là đoạn dài hơn được. Suy ra xác suất bằng ½.[2]

Thật là sai lầm khi nói đến tính không nhất quán của bài toán xác suất mà không đề cập đến bài toán Bertran (nhà toán học người Pháp Josep Bertran ), còn gọi là nghịch lý Bertran.

 

>>>>Xem thêm:  Dịch vụ quay phim cưới giá rẻ

 

Nghịch lý Bertran:

Dựng một cách ngẫu nhiên một đoạn thẳng (có hai điểm trên một vòng tròn cho trước). Tìm xác suất sao cho dây cung này lớn hơn độ dài của cạnh tam giác đều nội tiếp trong vòng tròn đó.

Để trả lời cho câu hỏi này, có rất nhiều lời giải. Dưới đây là ba lời giải cổ điển của nó:

Lời giải 1: Dây cung phải được bắt đầu từ một điểm nào đó trên vòng tròn. Ví dụ, điểm đó là điểm A như trên hình 7:

Tất cả các đường thẳng từ A quét hết một góc Pi, nhưng chỉ có những đường thẳng màu xanh tạo nên những dây cung lớn hơn cạnh của tam giác đều nội tiếp. Suy ra xác suất bằng 1/3. Ở bất kỳ điểm A nào đó trên vòng tròn đều có kết quả như vậy.

Lời giải 2: Bất kỳ điểm nào trong đường tròn có thể là trung điểm của một dây cung nào đó. Và ngược lại điểm đó chỉ là trung điểm của một dây cung duy nhất (trừ tâm vòng tròn).

ừ hình 8, ta thấy chỉ có những đường thẳng có điểm giữa nằm trong vòng tròn nội tiếp tam giác đều mới có độ dài lớn hơn cạnh tam giác. Suy ra, xác suất bằng Diện tích vòng tròn nội tiếp/ Diện tích vòng tròn ngoại tiếp = ¼.

Lời giải 3: Không mất tính tổng quát, ta chỉ xét những dây cung song song với đường kính vòng tròn nào đấy (Các đường khác có thể nhận được nhờ quay). Chúng ta hoàn toàn thấy được tổng tất cả các đường bằng tổng tất cả các bộ đường song song như thế với các góc quay khác nhau. Nên ta chỉ cần xét một bộ đường song song là đủ.

Tất cả những đoạn thẳng nằm trong vùng màu xanh đều thoả mãn điều kiện. Suy ra xác xuất bằng ½.

Hầu hết tất cả các chuyên gia, qua các lời giải trên, đều cho rằng đề ra không chính xác. Tất cả xoay quanh cụm “dựng một cách ngẫu nhiên đoạn thẳng”. Dựng thế nào? Bằng cách gì? Ngẫu nhiên ra sao? Ngẫu nhiên nào ngẫu nhiên hơn?…

Dù ngôn ngữ có những lệch lạc với logic toán học, nhưng chúng tôi cho rằng ngay cả những lệch lạc đó cũng có giới hạn của nó. Chứ không thể dựng ngẫu nhiên một đoạn thẳng là ta có thể lấy một điểm trên vòng tròn rồi vẽ đường thẳng ngẫu nhiên. Có cái gì đó bất ổn!!!

Ta thử xem đoạn thẳng phải được dựng như thế nào? Theo đề toán việc chúng ta nhận được đoạn thẳng (dây cung) là hiển nhiên.

Nói cách khác, cứ một lần thử nghiệm một cách ngẫu nhiên ta phải có một dây cung hay xác suất nhận được dây cung phải bằng 1. Rõ ràng, nếu thế phải có ít nhất một điểm trên mặt đường tròn nằm trên đường thẳng (đt mà từ đó ta có thể kéo dài cho nó cắt đường tròn tạo ra dây cung). Như vậy, việc tạo ra dây cung hiển nhiên một cách ngẫu nhiên có phải tương đương với một trong hai việc sau:

1. Điểm bên ngoài và thước kẻ: Lấy ngẫu nhiên một điểm ngoài vòng tròn. Từ điểm này dựng hai tiếp tuyến với đường tròn. Đặt thước kẻ qua điểm đó và di động ngẫu nhiên trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Chọn bất kỳ vị trí ngẫu nhiên của thước kẻ, dựng một đường thẳng cắt đường tròn, ta nhận dây cung.

2. Điểm bên ngoài và điểm bên trong: Lấy một điểm ngẫu nhiên bên ngoài đường tròn, sau đó lấy một điểm ngẫu nhiên khác trong vòng tròn. Nối chúng lại, dựng được một dây cung.

3. Điểm bên trong và thước vẽ: Lấy ngẫu nhiên một điểm trên mặt đường tròn, đặt cây thước vào điểm đó vẽ ngẫu nhiên một đường thẳng cắt vòng tròn tạo thành một dây cung. Kể cả phương pháp đặt ngẫu nhiên thước kẻ vào vòng tròn và kẻ cũng là một dạng của phép lấy dây cung này.

4. Hai điểm và nối: Lấy một điểm trên mặt đường tròn và một điểm bất kỳ. Nối chúng lại tạo một đường thẳng cắt đường tròn ta nhận đươc một dây cung. Nếu điểm ngẫu nhiên sau nằm ngoài vòng tròn thì phép thử này lại giống phép 1 (giải thích dưới). Nên phép thử này chỉ như sau: lấy ngẫu nhiên hai điểm trên mặt vòng tròn. Nối hai điểm lại thành đường thẳng cắt đường tròn, ta nhận được dây cung.

Như vậy, có hai kiểu dựng chính: một điểm + thước kẻ, hai điểm và nối. Biểu diễn trên trục toạ độ, ta thấy cách một phụ thuộc vào toạ đoạ x, y và góc α, còn cách hai- toạ độ x, y và x1, y1.

Chúng ta lưu ý, tuy từ toạ độ của hai điểm, ta cũng tìm được góc α, nhưng cách hai cho ta thêm một đại lượng nữa- đó là trọng lượng hay xác suất vẽ được đường thẳng qua (x,y) có góc α. Theo hình 10, cách dùng thước kẻ để vẽ chỉ cho ta thêm đại lượng ngẫu nhiên α, còn cách hai, để nhận được đường thẳng (x,y,α) ta có nhiều trường hợp các cặp [(x,y),(x1,y1)] khác nhau. Nhưng xác suất nhận được chúng khác nhau. Khoảng chọn được các cặp điểm lớn thì xác suất lớn, khoảng chọn được nhỏ thì xác suất nhỏ.

Leave A Reply

Your email address will not be published.