Tạp chí công nghệ Việt Nam

Phần 1: Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao – Giải trí khoa học (tiếp 5)

0

Ví dụ, lời giải 1 chỉ dựa trên thông số α, bởi vì tuy có điểm trên đường tròn nhưng tất cả những điểm này tương đương nhau nên yếu tố x,y không đóng vai trò gì. Lại chọn điểm mà xác suất thấp nhất. Nhưng nếu thay vì chọn cách một, ta lại theo cách hai- tức ta điểm đầu tiên vẫn trên đường tròn nhưng điểm thứ hai lấy ngẫu nhiên trên mặt đường tròn. Lúc này, xác suất không phải 1/3 nữa mà bằng diện tích của phần màu xanh chia cho diện tích đường tròn (lớn hơn ½, trường hợp 2 phía dưới). Hoặc, lời giải 3 chỉ dựa vào thông số ngẫu nhiên duy nhất là y. Nhưng nếu ta đặt bài toán như sau:

Cho một điểm x, y trên mặt đường tròn, vẽ một đường song song với trục hoành tao trên đường tròn một dây cung. Tìm xác suất sao dây cung đó lớn hơn cạnh tam giác đều nội tiếp.

Bài này cũng có xác suất bằng diện tích phần màu xanh chia cho diện tích đường tròn (trường hợp 2 phía dưới). Chỉ có lời giải hai khá lập dị, nó dựa trên hai thông số ngẫu nhiên (x,y) và thông số α (rất quan trọng cho việc dựng đoạn thẳng ngẫu nhiên) được suy ra từ (x,y). Và cách dựng đường thẳng lại làm cho dây cung nhận được nhỏ nhất, nên trách sao xác suất chả nhỏ hơn nhiều!!!. Các bạn thử xem, vì sao về nguyên tắc lời giải 3 và lời giải 2 giống nhau, thế nhưng hai xác suất nhận được lại khác nhau?

 

>>>Xem thêm: Dịch vụ quay phim kỷ yếu giã ngoại

 

So sánh các lời giải trên với các yếu tố ngẫu nhiên như đã vẽ trên hình 10, chúng ta thấy các lời giải chỉ dùng “tính ngẫu nhiên” một phần rất nhỏ. Hiển nhiên, khi tính ngẫu nhiên nhỏ thì người ta càng dễ đưa ra các lời giải khác nhau ứng với từng phần nhỏ ngẫu nhiên nhất định. Dẫn đến kết quả khác nhau xa nhau rất lớn. Và ba lời giải trên chẳng qua chỉ là những ví dụ khá độc đáo gây ấn tượng lớn cho độc giả (xác suất ½, 1/3, ¼), không hơn không kém. Chúng không thể được xem là những lời giải của bài toán Bertran. Bởi vì, chúng

chưa làm toát lên tính ngẫu nhiên của đoạn thẳng. Dù, như chúng tôi viết ở trên, ngôn ngữ có những lệch lạc không đáp ứng với tính chính xác của toán học, nhưng những lệch lạc đó cũng phải có giới hạn của nó.

Và khi các yếu tố ngẫu nhiên được đề cập đến nhiều, đề cập một cách tổng thể, thì kết quả nhận được không lệch nhau nhiều. Ta thử tính xem xác suất của các cách lấy ngẫu nhiên như tôi đã đề cập trên:

1. Điểm bên ngoài và thước kẻ: Lấy ngẫu nhiên một điểm ngoài vòng tròn. Từ điểm này dựng hai tiếp tuyến với đường tròn. Đặt thước kẻ qua điểm đó và di động ngẫu nhiên trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến. Chọn bất kỳ vị trí ngẫu nhiên của thước kẻ, dựng một đường thẳng cắt đường tròn, ta nhận dây cung.

>>>>Xem thêm: Dịch vụ quay phim cưới truyền thống

 

Gọi l là độ dài từ tâm đến điểm ở ngoài đó. Từ hình vẽ 11, dễ thấy xác suất sao cho dây cung nhận được lớn hơn cạnh tam giác đều nội tiếp bằng góc màu xanh chia cho góc giữa hai tiếp tuyến. Hay bằng:

Và lời giải 1, lời giải 3 dẫn ra trước đây chỉ là trường hợp con của bài toán này. Nếu l = ½, tức các điểm lấy bên ngoài nằm trên đường tròn (lời giải 1) thì thay vào công thức ta được 1/3. Nếu l = ∞ thì:

đây cũng chính là lời giải 3. Khi l tiến đến vô cùng, các đường thẳng vẽ được thành song song nhau. Hai góc trên đều bằng không, nhưng tỷ lệ của chúng lại bằng ½.

Vì điểm ngoài vòng tròn là ngẫu nhiên, vậy xác suất trong trường hợp này là trung bình của tất cả các trường hợp của l (từ 1/3 đến ½). Nhưng vì l tiến về vô cùng thì xác suất bằng ½ nên xác suất trung bình cũng bằng ½.

2. Điểm bên ngoài và điểm bên trong: Lấy một điểm ngẫu nhiên bên ngoài đường tròn, sau đó lấy một điểm ngẫu nhiên khác trong vòng tròn. Nối chúng lại, dựng được một dây cung.

Tất cả những điểm trong vùng màu xanh thoả mãn điều kiện. Vậy xác suất dây cung lớn hơn cạnh tam giác sẽ không đổi dù điểm bên ngoài nằm ở đâu đi chăng nữa và bằng:

3. Điểm bên trong và thước vẽ: Lấy ngẫu nhiên một điểm trên mặt đường tròn, đặt cây thước vào điểm đó vẽ ngẫu nhiên một đường thẳng cắt vòng tròn tạo thành một dây cung. Kể cả phương pháp đặt ngẫu nhiên thước kẻ vào vòng tròn và kẻ cũng là một dạng của phép lấy dây cung này.

Và xác suất bằng:

4. Hai điểm và nối: Lấy một điểm trên mặt đường tròn và một điểm bất kỳ. Nối chúng lại tạo một đường thẳng cắt đường tròn ta nhận đươc một dây cung. Nếu điểm ngẫu nhiên sau nằm ngoài vòng tròn thì phép thử này lại giống phép 1, bởi vì lúc đó tất cả các điểm quét hết các phần thoả mãn điều kiện và không thoả mãn đến vô cùng. Lúc đó tỷ lệ của vô cùng với vô cùng bằng tỷ lệ các góc. Và điều này hoàn toàn trùng với phép chọn ngẫu nhiên 3.

Như vậy phép thử này phần điểm bên trong với điểm bên ngoài ta không cần xét nữa (ở trường hợp 3). Ta chỉ xét trường hợp: lấy ngẫu nhiên hai điểm trên mặt vòng tròn. Nối hai điểm lại thành đường thẳng cắt đường tròn, ta nhận được dây cung.

φ = 2arcsin(1/4l), α = π/2 – arcsin(1/4l), β = arcsin(1/4l) – π/6

Diện tích cung OAB = 1/4(arcsin(1/4l)-π/6), tổng diện tích hai tam giác ORA, ORB = ½lsin(arcsin(1/4l)-π/6)=1/16[sqrt(3)-sqrt(16l2-1)]. Diện tích cung RAB =1/4(arcsin(1/4l)-π/6)- 1/16[sqrt(3)-sqrt(16l2-1)]. Diện tích hai phần màu đỏ =π/4 – ½ arcsin(1/4l) – 1/8 sqrt(16l2-1). Vậy, diện tích phần màu xanh = 1/2arcsin(1/4l)+1/8sqrt(16l2-1). Xác suất để dây cung lớn hơn cạnh tam giác tại một l nào đó sẽ = [2arcsin(1/4l) +1/2sqrt(16l2-1)]/π. Lấy trung bình của các xác suất này trong toàn mặt đường tròn (phần diện tích tam giác nội tiếp, xác suất bằng 1), ta được xác suất cho các điểm l ngẫu nhiên sẽ là:

Những bài toán xác suất hình học rất thú vị và hóc búa. Chúng tôi xin giới thiệu với các bạn một bài toán khá hay sau:

Chia bánh dễ mà khó?

Thuở sinh viên ở đất nước Nga xa xôi, lạnh giá, vào những dịp Tết, lũ lưu học sinh chúng tôi hay quay quần bên nhau trò chuyện về bánh chưng, bánh tét và hầu hết những hoài nhớ quê hương. Có một giao thừa như thế, tác giả bài viết này khi nhìn cô bạn cắt bánh gatô mà nhớ về những ngày thơ ấu. Hồi đó, mỗi khi đi chợ về, má thường cho ba đứa trẻ chúng tôi khi cái bánh, khi cây kẹo. Anh Hai chia ra làm ba phần (theo trí nhớ của tôi là khá đều), nhưng cô em Út bao giờ cũng giãy nãy lên: “Các anh khôn lắm, toàn cho em phần nhỏ nhất thôi.”. Anh Hai lại cấu của mình cho Út một tý nữa. (Cái bánh có nhiều nhặn gì cho cam!!!. Chắc vừa đủ để anh em chúng tôi phân biệt được nó là loại bánh gì trong “kho tàng bánh” rất ư phong phú

của Việt Nam ta. Các bạn thử nhớ lại xem, ai mà không từng gặp trường hợp này).

Trong giao thừa đó, chúng tôi có đưa ra bài toán:

Chia ngẫu nhiên một bánh hình vuông làm ba phần (các vết chia là đường thẳng). Tìm xác suất sao cho có ít nhất một phần nhỏ hơn ¼ cái bánh.

Bài toán vừa đưa ra đã gây nên một cuộc tranh luận sôi nổi. Một cô bạn nói: “Cho dù bạn có cắt bằng cách nào đi chăng nữa thì ta cũng có thể ép ba phần đấy lại thành một dây bánh dài. Vậy bài toán gần như tương đương với việc ép bánh lại và cắt. Lúc này, để tìm xác suất thì không khó”. Vâng, nếu như vậy thì quả là dễ. Bài toán cũng khá gần với bài toán bẻ que gỗ như ở trên.

Thế nhưng, có người phản bác lại: “Cách cắt bánh bằng các đường song song với cạnh hoàn toàn không đồng nhất với cắt bằng các đường song song ngẫu nhiên.”

Sau đó, bạn ấy suy luận như sau: “Bất kỳ phần nào được ép của bạn thành dây khi chia thì nó chính xác có một cách như thế được diện tích như thế. Nhưng khi chia bánh có dạng vuông (hay hình nào đó) thì cũng một diện tích như thế có nhiều cách cắt khác nhau. Và quan trọng, diện tích khác nhau thì số cách cắt khác nhau. Nên không thể dùng phương pháp này tính xác suất được. Cách tính này tương đương việc dùng các đường song song với một cạnh nào đấy của bánh để chia. Nhưng có thể dùng phương pháp này để dự đoán xác suất gần đúng.”. Người khác lại bảo: “Bánh được cắt ra thì phải có điểm cắt tại các cạnh. Vậy, các điểm trên chu vi của bánh có vai trò ngẫu nhiên như nhau. Ví dụ, ta xét bài toán “Chia ngẫu nhiên bánh hình vuông thành hai phần, tìm xác suất sao cho có một phần nhỏ hơn 1/3.”. Cho điểm ban đầu để cắt là A (bao giờ cũng phải có điểm ban đầu. Do đó xác suất có điểm A bằng 1). Ngoài ra, không mất tính tổng quát, ta có thể cho A chỉ nằm trên một nửa của cạnh đó, bởi vì nếu nằm ở nửa ngược lại thì ta cũng có bộ cách cắt giống y như vậy nhưng nằm đối xứng gương với bộ cách cắt khi A ở phía bên kia. Tổng các số điểm B trên chu vi bánh để có thể từ A cắt thành đường AB bằng 3 (cho cạnh bánh bằng 1). Việc chúng ta là tìm hàm xác suất theo thông số x (đoạn từ góc bánh đến A).

Từ hình 18, ta thấy nếu x<=1/3 thì xác suất sẽ là:

còn nếu x >1/3 thì xác suất bằng 7/9.

Leave A Reply

Your email address will not be published.