Tạp chí công nghệ Việt Nam

Phần 1: Cạm bẫy của các Đấng Tối Cao – Giải trí khoa học (tiếp)

0

♣. Thánh nhân đãi kẻ khù khờ?

Một nhà thông thái nghĩ mình đã biết hết mọi việc trên đời. Có lần, ông gặp một bác nông dân trông thật là…nông dân. Quá tự phụ vào kiến thức của mình, ông ta bảo bác nông dân: “Bây giờ, ông hỏi tôi một câu, nếu tôi không trả lời được thì tôi trả ông 10 đồng. Sau đó, tôi hỏi ông một câu, ông không trả lời được, ông trả tôi 1 đồng.”. Bác nông dân “Được, tôi chấp nhận cá cược.”. “Vậy, nhường ông hỏi trước.”, nhà thông thái trả lời. Bác nông dân nói “Tôi xin hỏi ông, con gì chạy xuống núi bằng bốn chân, mà chạy lên núi chỉ bằng ba chân.”. Suy nghĩ mãi, nhà thông thái đành trả lời: “Tôi không biết.”, và rút 10 đồng ra trả. Ông ta bèn hỏi: “Con gì ngộ vậy?”. Bác nông dân rút 1 đồng trả nhà thông thái và nói: “Tôi cũng không biết.”.

Trong cuộc sống thường ngày và ngay cả trong khoa học, chúng ta chứng kiến không biết bao nhiêu trường hợp:

“Ai đời châu chấu đá xe

Tưởng rằng chấu ngã, ai dè xe nghiêng”

như thế…

 

>>>>Xem thêm: Dịch vụ dựng phim ca nhạc

 

Trong cuốn Mathematical Puzzles and Diversions, Martin Gardner đã dẫn một ví dụ tuyệt diệu về khả năng chiến thắng kẻ mạnh hơn như sau:

Smit, Brown và John quyết định đấu súng tay ba theo luật sau: đầu tiên họ sẽ bốc thăm xem ai bắn trước, bắn nhì và bắn cuối. Mỗi người đến lượt mình chỉ bắn được một phát và có thể nhắm vào bất kỳ người nào. Cuộc đấu súng tiếp diễn đến khi chỉ còn sống sót một người. Thoả thuận về luật và bốc thăm xong, ba người đứng vào vị trí của mình (là đỉnh của tam giác đều). Cả ba đều biết khả năng hai đối thủ của mình: Smit không bao giờ trượt, Brown bắn trúng đến 80% số lần bắn, còn John thì bắn trượt cũng như bắn trúng(50/50).

Ai sẽ là người có cơ hội sống sót lớn nhất? Biết rằng cả ba đều thực hiện chiến thuật tối ưu nhất. Và kết quả bốc thăm được sử dụng cho cả trận đấu.

Khi tôi giới thiệu bài toán này với những người bạn, tôi đã nhận rất nhiều ý kiến giải đáp khác nhau. Có người cho Smit có khả năng sống sót nhiều hơn, có người cho Brown thoát khỏi hiểm nguy cao nhất. Một trong số ý kiến đó có lý luận sau đáng chú ý: việc bốc thăm sẽ cho cơ hội đồng đều cho cả ba bắn trước. Vậy xác suất của mỗi người được bắn trước là 1/3. Ta xét xem xác suất sống sót của mỗi người:

 

>>Xem thêm: Dịch vụ quay phim sự kiện 

 

Trường hợp 1: xác suất 1/3, Smit bắn trước. Chiến thuật tối ưu của anh ta: bắn vào Brown. Anh ta hạ Brown, lúc đó John sẽ bắn vào chàng ta với xác suất trúng đích là 50%. Nếu trật (cũng với xác suất 50%) thì Smit sẽ kết liễu John. Vậy với trường hợp này xác suất của anh chàng thiện xạ được sống sót là 1/3 x 1/2 = 1/6. Xác suất sống sót của John là 1/6 và của Brown bằng 0.

Trường hợp 2: xác suất 1/3, Brown bắn trước. Chiến thuật tối ưu của anh ta: bắn vào Smit (xem hình 2). Nếu hạ thủ được Smit với xác suất 4/5, thì xác suất đấu trực tiếp của anh ta với John khi John bắn trước là 4/9 đọ 5/9 (nếu Brown bắn trước sẽ là 8/9 đọ 1/9). Như thế, theo hướng này xác suất John sống sót là 1/3 x 4/5 x 5/9= 4/27, Brown sống sót là 1/3 x 4/5 x 4/9 = 16/135. Nếu không hạ được Smit với xác suất 1/5 thì mỗi người Smit và John có xác suất ½ để bắn tiếp theo. Và theo biểu đồ, chúng ta có thể tính toán cho trường hợp này xác suất sống sót của từng người là:

Smit: 1/60 + 1/120 =1/40
John: 1/540 +1/60 + 1/120 + 4/27=7/40
Brown: 8/540 + 16/135=2/15
(Cộng tất cả các số này lại với nhau sẽ được 1/3)

Trường hợp 3: John bắn trước với xác suất 1/3. Theo hình 3 ta có thể tính được như sau:

Smit: 1/24 + 1/120 =1/20
John: 1/24 +1/120 + 1/54 + 1/27=19/180
Brown: 4/27 + 4/135=8/45
(Cộng tất cả các số này lại với nhau sẽ được 1/3)

Như thế xác suất sống sót của mỗi người là:

Smit: 1/6 +1/40 + 1/20=29/120 =0.242
John: 1/6 + 7/40 + 19/180 =161/360 =0.447
Brown: 2/15 + 8/45 = 14/45=0.311

Rõ ràng, cách tính trên đã chọn cách tối ưu cho cả ba người là: Khi còn hai đối thủ, người bắn nhằm vào kẻ bắn giỏi hơn. Lúc đó, nếu cơ may đối thủ bị bắn chết thì người bắn vào mình sẽ là tay amatơ hơn. Và cơ hội sống nhiều hơn. Lý luận này đã đúng chưa? Hoá ra, anh chàng thiện xạ có xác suất sống còn thấp nhất. Nhưng các bạn hãy chú ý một điểm rất nhỏ thôi, nhưng cũng đánh gẫy toàn bộ lý luận trên đây. Nếu xét việc bắn trước là một cơ hội tốt của người bắn để thoát hiểm, chúng ta thấy điều này chỉ đúng với Smit. Ngược lại, không đúng cho John và Brown (cái xác suất sống sót của Brown tăng lên vì do John chọn sai chiến thuật tối ưu). Khi John bắn trước, nếu sử dụng cách này xác suất sống còn của anh ta là 19/180 đối với 1/6 và 7/40 khi Smit và Brown bắn trước tương ứng. Vậy việc gì John phải bắn vào ai đó, bởi vì bất kỳ người nào bắn tiếp theo

(vẫn còn ba người) thì xác suất sống còn của John vẫn cao hơn khi anh ta nhắm vào người khác mà bắn? Chiến thuật tối ưu của John là bắn lên trời. [2] Ngoài những con số ở trên, chúng ta thấy John sử dụng phương thức này để tận dụng cho hai đối thủ mạnh loại trừ nhau. Quan trọng nhất, theo đúng luật khi một đối thủ của John bị loại thì người bắn trước lại là John. Và trong bất kỳ trường hợp nào, anh ta cũng có xác suất hơn ½ sống sót. Chiến thuật tối ưu của Smit đã rõ, anh ta phải bắn vào Brown. Còn Brown cũng vậy, biết rằng John sẽ ngư ông đắc lợi mà bắn vào John không được. Chỉ còn cách bắn vào Smit để tăng cao xác suất sống còn mình lên. Từ những lý luận trên, chúng ta có thể thiết lập biểu đồ xác suất cho cả ba xạ thủ như hình 4:

Xác suất cho mỗi người Brown và Smit bắn trước là ½ (Khi còn ba người John là outsider, không tính đến vì anh ta không bắn vào ai cả). Và diễn biến tiếp theo có thể dễ nhận thấy theo hình vẽ. Xác suất của ba người được tính như sau:

Smit: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 = 3/10
Brown: 1/2 x 4/5 x 4/9 = 8/45
John: 1/2 x 1/2 + 1/2 x 1/5 x 1/2 + 1/2 x 4/5 x 5/9 = 47/90

Như vậy chúng ta thấy một “nghịch lý” như sau: John-người bắn kém nhất lại có cơ may sống sót hơn cả cơ may của hai anh chàng bắn giỏi cộng lại. Có phải chăng thánh nhân đãi kẻ khù khờ hay là điều kỳ diệu của xác suất.[3]

 

Leave A Reply

Your email address will not be published.